domenica 27 dicembre 2015

Mathemagica 2 - Pioli, elastici, quadrati -

Inizio questa serie di lezioni con un problema che mi ha affascinato parecchio: semplice in realtà, ma per un discalculico grave come me, non così semplice e, soprattutto, che mi permette d'introdurre il concetto di “intendersi” in matematica, ovvero la necessità di utilizzare un linguaggio comprensibile.
“Cosa mi stai chiedendo?” - “Su cosa devo ragionare?” - “A cosa devo arrivare?”, sembrano quesiti banali, ma sono sempre stati il primo scoglio su cui ho cozzato nella mia lotta, corpo a corpo, con la matematica.

Il problema è quello de: “La tavoletta e i quadrati” che si trova come primo quesito nel libro (un librone, a dire il vero) “Matemagica, il grande libro dei giochi” di Ivan Moscovich (Rizzoli ed.).
Qui però ci vuole una prima precisazione.
Questo libro NON parla di Mathemagica (o Matemagica), bensì di matematica ricreativa, tutta un'altra cosa; in effetti non è neanche colpa dell'autore se il libro ha questa definizione, perché il suo titolo originale (in inglese) è “The puzzle universe”, ben lontano da quello che Rizzoli (l'editore italiano del testo), vuol farci credere con la sua traduzione approssimativa.
E qui, quindi, possiamo toccare con mano che “intendersi” non è così semplice: io stesso, se non avessi letto la parola “Matemagica” nel titolo, mi sarei ben guardato dall'acquistare il libro su Amazon e invece.... Ma andiamo avanti.
Di seguito trovate la riproduzione del quesito, come posto sul libro in questione
Ora provate a dare una risposta voi.
Fatto?
Beh, la risposta è sicuramente sbagliata e sapete perché? Perché è la domanda ad essere posta in maniera errata.
Per favore, seguite il mio ragionamento, tenendo presente che è lo stesso ragionamento (o perlomeno, molto simile) a quello che la maggior parte di studenti (e studentesse) di scuola primaria (le elementari di vecchia denominazione) fanno.
Supponiamo di avere parecchi elastici colorati e di metterli sui pioli a formare i quadrati “diversi tra loro” e vediamo cosa riusciamo a fare (nella pratica invece utilizzeremo solo elastici dello stesso colore, per ovviare all'obiezione che “siccome sono di colori diversi, sono diversi anche elastici nella stessa posizione”*).

Naturalmente ho inserito solo “alcune” delle soluzioni possibili, ma ce ne sono parecchie altre,ottenibili cambiando semplicemente l'orientamento e la posizione degli elastici. Nei casi sopra rappresentati, possiamo rilevare 12 quadrati “diversi tra loro” (il colore, come già detto, non conta).
Però, quando vado in fondo al libro e verifico la risposta, trovo che le soluzioni sono solo 8.
Come mai?
La ragione è che è la domanda iniziale, mal posta, a trarre in inganno.
Ora osservate la “risposta ufficiale”.
Nella risposta appare la parola “dimensioni”, di cui non c'è traccia nella domanda.
Questo “autorizza” gli studenti ad immaginarsi soluzioni fantasiose (bene, bene, benissimo!), ma se si fosse trattato di una verifica, avrebbero dato risposte sbagliate.La domanda corretta avrebbe dovuto quindi essere: “Quanti quadrati di diverse dimensioni si possono ottenere unendo con un elastico i pioli su questa tavoletta?” E a questo punto la risposta corretta sarebbe stata “8”.
Questa esercitazione di Mathemagica la faccio effettuare ai gruppi di studenti con una vera tavoletta e dei veri elastici, proprio per sottolineare quanto sia importante il MODO in cui viene posto un problema e il linguaggio che viene utilizzato.
Vista però la “povertà” della traduzione del testo originale, mi viene il dubbio che l'autore la domanda l'avesse posta in un altro modo, poco male, il tutto ci serve per analizzare e comprendere
un problema.

* specifico questa questione perché le prime volte che conducevo l'esperienza portavo in classe una scatola di elastici assortiti. Alcuni gruppi di studenti creavano un quadrato – supponiamo un 3 x 3 pioli – e poi ad esso, sovrapponevano, nella medesima posizione, elastici di diversi colori, asserendo (a mio avviso correttamente) che essendo gli elastici di colore diverso, anche se occupavano la medesima posizione, formavano quadrati diversi.










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